ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87584
Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ]
[ ГМТ в пространстве (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку A , не принадлежащую плоскости π , и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью π .

Решение

Пусть O – ортогональная проекция точки A на плоскость π , M – произвольная точка плоскости π , для которой выполнено условие задачи, т.е. прямая AM образует с плоскостью π данный угол (обозначим его α ). Так как OM – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость π , то AMO = α . Из прямоугольного треугольника AMO находим, что

OM = AO ctg AMO = AO ctg α.

Таким образом, точка M лежит на окружности с центром O и радиусом AO ctg α . Пусть теперь K – произвольная точка этой окружности. Тогда прямая AK образует с плоскостью π острый угол, тангенс которого равен
= = tg α.

Значит, угол прямой AK с плоскостью π равен α .

Ответ

Окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8187

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .