Задача 87585

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ ГМТ в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На плоскости α даны три точки A , B и C , не лежащие на одной прямой. Пусть M – такая точка в пространстве, что прямые MA , MB и MC образуют равные углы с плоскостью α . Найдите геометрическое место точек M .

Решение

Пусть M – произвольная точка пространства (не лежащая в плоскости α ), для которой выполняется условие задачи; O – ортогональная проекция точки M на плоскость α . Тогда MAO , MBO и MCO – углы прямых MA , MB и MC с этой плоскостью. Прямоугольные треугольники MAO , MBO и MCO равны по катету ( MO – общий катет) и острому углу ( MAO = MBO = MCO по условию задачи). Значит, OA = OB = OC , т.е. O – центр окружности, описанной около треугольника ABC . Ясно, что точка M лежащая в плоскости α и равноудаленная от точек A , B и C , является центром описанной окружности треугольника ABC . Таким образом, доказано, что каждая точка M , удовлетворяющая условию задачи, лежит на прямой l , проходящей через центр описанной окружности треугольника ABC перпендикулярно плоскости α . Пусть теперь K произвольная точка прямой l , отличная от O . Тогда прямоугольные треугольники KAO , KBO и KCO равны по двум катетам. Значит,

KAO = KBO = KCO,
т.е. прямые KA , KB и KC образуют равные углы с плоскостью α .
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника ABC перпендикулярно плоскости α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8188