Задача 87586

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = a . На каком расстоянии от плоскости ABC находится точка M , если известно, что прямые MA , MB и MC образуют с плоскостью углы, равные α .

Решение

Пусть O – ортогональная проекция точки M на плоскость ABC . Тогда MAO , MBO и MCO – углы прямых MA , MB и MC с плоскостью ABC . По условию задачи MAO = MBO = MCO . Значит, прямоугольные треугольники MAO , MBO и MCO равны по катету и острому углу. Поэтому OA = OB = OC , т.е. точка O – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC . Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы, то

OA = OB = OC = AB = a.
Из прямоугольного треугольника MAO находим, что
OM = OA tg MAO = a tg α.

Ответ

a tg α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8189