Задача 87587

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В плоскости α проведены две перпендикулярные прямые. Прямая l образует с ними углы, равные 45^o и 60^o . Найдите угол прямой l с плоскостью α .

Решение

Пусть прямая l образует с прямыми a и b плоскости α углы 60^o и 45^o соответственно, и пересекает эту плоскость в точке P . Возьмём на прямой l такую точку M , для которой PM = 1 . Пусть O – ортогональная проекция точки M на плоскость α , A и B – основания перпендикуляров, опущеннных из точки M на прямые a1 и b1 , соответственно параллельные прямым a и b и проходящие через точку P . Тогда MPO – угол прямой l с плоскостью α , MPA – угол между прямыми l и a1 (а значит, между прямыми l и a ), MPB – угол между прямыми l и b1 (а значит, между прямыми l и b ). По условию задачи MPA = 60^o , MPB = 45^o . Из прямоугольных треугольников MPA и MPB находим, что

AP = MP cos MPA = 1· cos 60^o = ,

BP = MP cos MPB = 1· cos 45^o = .
По теореме о трёх перпендикулярах OA a и OB b . Значит, OAPB – прямоугольник. Поэтому OA = BP = . Из прямоугольного треугольника OAP находим, что
OP = = = .
Поэтому
cos MPO = = = .
Следовательно, MPO = 30^o .

Ответ

30^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8190