Задача 87588

Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Ортогональной проекцией равнобедренного прямоугольного треугольника на плоскость α является правильный треугольник. Найдите угол, образованный гипотенузой данного треугольника с плоскостью α .

Решение

Пусть C – вершина прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = a и гипотенузой AB = a ; A1 , B1 и C1 – ортогональные проекции точек A , B и C соответственно на плоскость β , параллельную α и проходящую через вершину C треугольника ABC . Обозначим AB = AC = BC = x . Прямоугольные треугольники AA1C и BB1C равны по гипотенузе и катету. Поэтому AA1 = BB1 . Если точки A и B лежат по одну сторону от плоскости β , то AA1B1B – прямоугольник. Поэтому A1B1 = AB . Тогда

C1B1 = CB1 = A1B1 = a > a = BC,
что невозможно. Если же точки A и B лежат по разные стороны от плоскости β , то отрезок AB пересекает плоскость β в некоторой точке M , лежащей на отрезке A1B1 . Из равенства прямоугольных треугольников AA1M и BB1M (по катету и противолежащему острому углу) следует, что M – середина AB и A1B1 . Поэтому CM – высота равнобедренного треугольника ABC и равностороннего треугольника CA1B1 . Значит,
CM = , CM = ,
откуда = . Так как A1M – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость β , то AMA1 – угол прямой AM (а значит, и прямой AB ) с плоскостью β . Из прямоугольного треугольника AMA1 находим, что
cos AMA1 = = = = = .
Поскольку плоскости α и β параллельны, найденный угол равен искомому.

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8191