|
|
 |
Условие
Пусть ABC – равносторонний треугольник. Через прямые AB , BC
и AC проходят три плоскости, образующие угол ϕ с плоскостью
ABC и пересекающиеся в точке D1 . Кроме того, через эти же прямые
проходят плоскости, образующие угол 2ϕ с плоскостью ABC и
пересекающиеся в точке D2 . Найдите ϕ , если известно, что
точки D1 и D2 находятся на равных расстояниях от плоскости ABC .
Решение
Обозначим через a сторону равностороннего треугольника ABC .
Тогда радиус вписанной окружности треугольника равен ,
а радиус вневписанной окружности –
. Боковые грани
треугольной пирамиды ABCD1 образуют равные углы с плоскостью основания
ABC , поэтому высота D1O1 пирамиды проходит через центр вписанной
или через центр вневписанной окружности треугольника ABC . Аналогично,
высота D2O2 также проходит через центр вписанной или
через центр вневписанной окружности треугольника ABC .
Если O1 и O2 совпадают с центром вписанной окружности
треугольника ABC или и O1 , и O2 являются центрами вневписанных
окружностей, то либо
либо
что противоречит условию задачи ( D1O1 = D2O2 ). Если O1 – центр вписанной, а O2 – вневписанной окружности треугольника ABC , то
откуда tg 2ϕ = -5 , что невозможно. Если O1 – центр вневписанной, а O2 – вписанной окружности треугольника ABC , то
откуда tg 2ϕ =
Ответ
30o .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 8201 |
