Условие
В пирамиде
ABCD двугранный угол при ребре
AC равен
90
o ,
AB = BC = CD ,
BD = AC . Найдите двугранный угол при ребре
AD .
Решение
Опустим перпендикуляр
BM из вершины
B данной пирамиды на
ребро
AC , а из точки
M в плоскости
ACD проведём перпендикуляр
MP
к
AC . Тогда
BMP – линейный угол двугранного угла с ребром
AC . По
условию задачи
BMP = 90
o . Поэтому прямая
BM перпендикулярна
двум пересекающимся прямым
AC и
MP плоскости
ADC . Значит, прямая
BM
перпендикулярна плоскости
ADC .
Точка
M – середина
AC , так как высота
BM равнобедренного
треугольника
ABC является его медианой (
AB = BC по условию). Пусть
BK – высота треугольника
ABD . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах
MK 
AD . Значит,
BKM – линейный угол двугранного
угла с ребром
AD .
Пусть
CF – высота треугольника
ACD . Тогда
MK = 
CF как
средняя линия треугольника
ACF . Из равенства треугольников
ABD и
DCA следует равенство соответствующих высот этих треугольников.
Поэтому
BK = CF , а
MK = CF = BK . Таким образом,
в прямоугольном треугольнике
BMK катет
MK равен половине гипотенузы
BK .
Следовательно,
BKM = 60
o .
Ответ
60
o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
8208 |
