|
|
 |
Условие
В пирамиде ABCD двугранный угол при ребре AC равен 90o ,
AB = BC = CD , BD = AC . Найдите двугранный угол при ребре AD .
Решение
Опустим перпендикуляр BM из вершины B данной пирамиды на
ребро AC , а из точки M в плоскости ACD проведём перпендикуляр MP
к AC . Тогда BMP – линейный угол двугранного угла с ребром AC . По
условию задачи BMP = 90o . Поэтому прямая BM перпендикулярна
двум пересекающимся прямым AC и MP плоскости ADC . Значит, прямая BM
перпендикулярна плоскости ADC .
Точка M – середина AC , так как высота BM равнобедренного
треугольника ABC является его медианой ( AB = BC по условию). Пусть
BK – высота треугольника ABD . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах MK
AD . Значит, BKM – линейный угол двугранного
угла с ребром AD .
Пусть CF – высота треугольника ACD . Тогда MK =
CF как
средняя линия треугольника ACF . Из равенства треугольников ABD и
DCA следует равенство соответствующих высот этих треугольников.
Поэтому BK = CF , а MK =
CF =
BK . Таким образом,
в прямоугольном треугольнике BMK катет MK равен половине гипотенузы BK .
Следовательно,
BKM = 60o .
Ответ
60o .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 8208 |
