Задача 87620

Темы:    [ Построение сечений ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что сечением пирамиды ABCD плоскостью, параллельной рёбрам AC и BD , является параллелограмм, причём для одной такой плоскости этот параллелограмм будет ромбом. Найдите сторону этого ромба, если AC = a , BD = b .

Решение

Пусть секущая плоскость пересекает рёбра AB , AD , CD и BC в точках K , L , M и N соответственно. Плоскость ABD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой KL . Значит, KL || BD . Аналогично, MN || BD . Поэтому KL || MN . Аналогично, что KN || LM . Следовательно, KLMN – параллелограмм. Обозначим = = k . Тогда = =1-k . Поэтому

LM = kAC = ka, KL = (1-k)BD = (1-k)b.
Параллелограмм KLMN является ромбом, если LM = KL . Из уравнения ka = (1 - k)b находим, что k = . Следовательно,
KL = LM = ka = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8223