Задача 87638

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Противоположные рёбра треугольной пирамиды попарно равны. Докажите, что все грани этой пирамиды – равные остроугольные треугольники.

Решение

Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD , в которой AB = CD , AD = BC и AC = BD . Треугольники ADB , CBD , DAC и BCA равны по трём сторонам. Значит, углы этих треугольников, лежащие против равных сторон, попарно равны. Обозначим,

ABD = BCD = ACD = BAC = α,

BAD = BCD = ADC = ABC = β.

ADB = CBD = DAC = BCA = γ,
Тогда плоские углы трехгранного угла DABC с вершиной D равны α , β и γ . Предположим, что γ > 90^o . Так как сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего плоского угла, то
α + β > γ > 90^o.
Тогда α + β + γ > 180^o , что невозможно. т.к. сумма углов треугольника равна 180^o . Аналогично, α < 90^o и β < 90^o . Таким образом треугольники ADB , CBD , DAC и BCA – остроугольные.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8241