Задача 87640

Темы:    [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Все плоские углы трёхгранного угла равны по 60^o . Найдите углы, образованные рёбрами этого трёхгранного угла с плоскостями противоположных граней.

Решение

Пусть O – вершина данного трёхгранного угла. Отложим на его рёбрах отрезки OA , OB и OC , причём OA = OB = OC = a . Тогда треугольники OAB , OAC и OBC – равносторонние. Поэтому AB = BC = AC = a . Таким образом все грани пирамиды OABC – равные равносторонние треугольники со стороной a . Пусть M – ортогональная проекция точки A на плоскость OBC . Тогда AOM – угол между ребром OA и противоположной ему гранью BOC данного трёхгранного угла. Так как AB = AC = AO , то M – центр равностороннего треугольника BOC . Из прямоугольного треугольника AMO находим, что

cos AOM = = = .
Поэтому AOM = arccos . Ясно, что остальные углы также равны arccos .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8243