Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется n одинаковых.

   Решение

Рассматриваются всевозможные пары  (a, b)  натуральных чисел, где  a < b.  Некоторые пары объявляются чёрными, остальные – белыми.
Можно ли это сделать так, чтобы для любых натуральных a и d среди пар  (a, a + d),  (a, a + 2d),  (a + d, a + 2d)  встречались и чёрные, и белые?

   Решение

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 2- Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

Подсказка

Заметьте, "числа равны" и "числа начинаются с одной и той же буквы"  — это два совершенно разных утверждения.

Решение

Эти числа, соответственно, 147 и 111. Задача решается простым перебором вариантов, которых не так уж много.

Ответ

 147 и 111.

Источники и прецеденты использования