Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Перед вами замок "с секретом" (см. рисунок).
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.
Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами.
После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что sin x всегда равен нулю, а cos x – единице:
Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.
Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?
|
|
 |
Условие
Илья всегда
говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал
на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?
Подсказка
Вспомните задачи 140 и 148.
Решение
Второй ответ Ильи отличается от первого, значит, что
то изменилось. Вопрос не менялся. Что же могло измениться, кроме
вопроса? Только ситуация, в которой этот вопрос был задан. Поскольку
в условии задачи ничего не сказано ни о местности, ни о личности
задававшего, ни о температуре воздуха и т.д., то к свойствам ситуации,
в изменении которых можно убедиться, относятся, вопервых, число
вопросов, уже заданных Илье, и, вовторых, время. Стало быть,
возможных вопросов два: "Сколько вопросов я тебе уже задавал?"
и "Который час с точностью до секунды?" Если же мы позволим себе
пользоваться свойствами ситуации, не участвующими в условии задачи,
то объяснений различия в ответах можно придумать сколько угодно.
Например, один и тот же вопрос: "Я — мужчина?" ему задали сначала
папа, а потом — мама.
Ответ
"Сколько вопросов я тебе уже задал?"
