В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, лежащей между точками B и C, причём BD : BC = ( < 1). Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке E. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ECD.

   Решение

Основания трапеции равны 1,8 и 1,2; боковые стороны, равные 1,5 и 1,2, продолжены до взаимного пересечения.
Найдите, насколько продолжены боковые стороны.

   Решение

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём  MN = 12.
Найдите стороны параллелограмма.

   Решение

В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

   Решение

Укажите какое-нибудь целое положительное n, при котором
  а)  1,001ⁿ > 10;
  б)  0,999ⁿ < 0,1.

   Решение

Тема:    [ Классические неравенства ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Укажите какое-нибудь целое положительное n, при котором
  а)  1,001ⁿ > 10;
  б)  0,999ⁿ < 0,1.

Решение

  а) Согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)  (1 + ¹/₁₀₀₀)¹⁰⁰⁰⁰ > 1 + 10000·¹/₁₀₀₀ > 10.

  б)  (1 – ¹/₁₀₀₀)(1 + ¹/₁₀₀₀) < 1,  cледовательно,   (1 – ¹/₁₀₀₀)¹⁰⁰⁰⁰ < (1 + ¹/₁₀₀₀)^–10000 < ¹/10_.

Ответ

Например,  n = 10000.

Источники и прецеденты использования