Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что ∠PDA = ∠AED.
Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.
a и b – натуральные числа. Известно, что a² + b² делится на ab. Докажите, что a = b.
Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке.
У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. A – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке A. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.
Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью π/7. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A1, B1, C1 находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A1, B1, C1 также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.
Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?
a1, a2, ..., a101 – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что ak делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.
|
|
 |
Условие
a1, a2, ..., a101 – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что ak делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.
Решение
Добавим а102 = 1. Мы получили подстановку на множестве {1, 2, ..., 102}. Она распадается на циклы. Но наименьшее число нетривиального (содержащего более одного числа) цикла стоит на месте с номером, большим самого числа. По условию таким числом может быть только 1, следовательно, нетривиальный цикл только один (и состоит из некоторых делителей числа 102, каждый из которых является делителем следующего), а остальные циклы тривиальны. Вот все варианты нетривиальных циклов (их 13):
(1, 102), (1, 2, 102), (1, 3, 102), (1, 6, 102), (1, 17, 102), (1, 34, 102), (1, 51, 102), (1, 2, 6, 102), (1, 2, 34, 102), (1, 3, 6, 102), (1, 3, 51, 102),
(1, 17, 34, 102), (1, 17, 51, 102).
Замечания
Другой подход. Заметим, что произведение целых чисел ak/k равно 102, следовательно, каждому упорядоченному разложению 102 на множители соответствует перестановка. Например, разложению 102 = 3·2·17 соответствует перестановка a1 = 3, a3 = 3·2 = 6, a6 = 102.
