ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97815
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321.
  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары   ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара).
  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.


Решение

  а)  987654321 – 123456789 = 864197532,  следовательно,  (123456789, 864197532)  – кондиционная пара. Переставив последние две цифры в каждом из этих чисел, получаем другую кондиционную пару  (123456798, 864197523).

  б) Сумма последних цифр двух чисел из кондиционной пары равна 11, сумма предпоследних – также. Поэтому каждой кондиционной паре  (Xab, Ycd)  соответствует еще одна:   (Xba, Ydc)  Может случиться, что пара вида  (Xab, Xba)  соответствует сама себе, но такая пара ровно одна:
X = (987654321 – 11(a + b)) : 200 = (987654321 – 121) : 200 = 4938271,  то есть это пара  {493827156, 493827165}.
  Поэтому пар, отличных от указанной, – чётное число.

Замечания

баллы: 2 + 14

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .