|
|
 |
Условие
Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от
1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их
сумма равна 987654321.
а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары ((a, b) и (b, a) – одна и та же пара).
б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.
Решение
а) 987654321 – 123456789 = 864197532, следовательно, (123456789, 864197532) – кондиционная пара. Переставив последние две цифры в каждом из этих чисел, получаем другую кондиционную пару (123456798, 864197523).
б) Сумма последних цифр двух чисел из кондиционной пары равна 11, сумма предпоследних – также. Поэтому каждой кондиционной паре (Xab, Ycd) соответствует еще одна: (Xba, Ydc) Может случиться, что пара вида (Xab, Xba) соответствует сама себе, но такая пара ровно одна:
X = (987654321 – 11(a + b)) : 200 = (987654321 – 121) : 200 = 4938271, то есть это пара {493827156, 493827165}.
Поэтому пар, отличных от указанной, – чётное число.
Замечания
баллы: 2 + 14
