ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97826
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются  4(N – 1)  граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные  4(N – 1)  целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи:
  а)  N = 3;
  б)  N = 4;
  в)  N = 5.


Решение

  а), в) На рисунках 1а, 1б приведены соответствующие расстановки.

  б) Мы имеем ровно четыре прямоугольника: две диагонали и два "настоящих" прямоугольника; следовательно, сумма всех 12 расставленных чисел делится на 4. Предположим, что мы расставили числа от  N – 5  до  N + 6.  Их сумма  12N + 6  не делится на 4. Противоречие.


Ответ

а), в) Возможно;  б) невозможно.

Замечания

1. Если слово "целые" заменить на "натуральные", то ответ в п. в) отрицателен: имеется 5 прямоугольников, а сумма даже двух наибольших чисел меньше ⅕ суммы всех чисел.

2. В задаче М886 из Задачника "Кванта" добавлен еще случай  N = 1985.

3. Баллы: 2 + 3 + 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .