Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d² - R², где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.

   Решение

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

   Решение

Найти все решения системы уравнений:   (x + y)³ = z,  (y + z)³ = x,  (z + x)³ = y.

   Решение

Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найти все решения системы уравнений:   (x + y)³ = z,  (y + z)³ = x,  (z + x)³ = y.

Решение 1

  Вычитая из первого уравнения второе, получим:   (x – z)((x + y)² + (x + y)(y + z) + (y + z)²) = – (x – z).
  Поскольку выражение вида  a² + ab + b²  не может быть отрицательным,  x = z.  Аналогично  x = y.
  Осталось решить уравнение  (2x)³ = x.

Решение 2

В силу симметрии системы уравнений можем считать, что  x ≥ y.  Тогда  (y + z)³ = x ≥ y = (z + x)³,  поэтому  y + z ≥ z + x,  то есть  y ≥ x.  Значит,  x = y.  Аналогично  y = z. 

Ответ

Замечания

1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 8 кл., зад. 2).

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования