Задача 57544

Темы:    [ Угол (экстремальные свойства) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Перегруппировка площадей ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

Решение

Рассмотрим угол X'A'Y', симметричный углу XAY относительно точки O. Пусть B и C — точки пересечения сторон этих углов. Обозначим точки пересечения прямой, проходящей через точку O, со сторонами углов XAY и X'A'Y' через B₁, C₁ и B₁', C₁' соответственно (рис.). Так как S_AB1C1 = S_A'B1'C1', то S_AB1C1 = (S_ABA'C + S_BB1C1' + S_CC1B1')/2. Площадь треугольника AB₁C₁ минимальна, если B₁ = B и C₁ = C, т. е. искомой прямой является BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	3
Название	Угол
Тема	Угол (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.024