|
|
 |
Условие
а) Привести пример такого положительного a, что {a} + {1/a} = 1.
б) Может ли такое a быть рациональным числом?
Решение 1
а) Возьмём a = 2 + . Поскольку (2 +
)(2 –
) = 1, {a} + {1/a} = (
– 1) + (2 –
) = 1.
б) Допустим, что число a рационально, и представим его в виде несократимой дроби: a = m/n. Если {a} + {1/a} = 1, то, очевидно, a + 1/a – целое число; обозначим его через k. Итак, m/n + n/m = k, то есть m² + n² = kmn. Отсюда следует, что m² делится на n, а n² – на m, а поскольку m и n взаимно просты, это возможно лишь при |m| = |n| = 1, то есть при a = ±1. Но в этом случае {a} + {1/a} = 0. Противоречие.
Решение 2
Из условия следует, что a + 1/a – целое число, однако для несократимой дроби a = p/q это невозможно: дробь также несократима.
Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда a + 1/a равно целому числу n, причём a не целое. Поскольку уравнение
a² – na + 1 = 0 при n > 2 не может иметь рациональных корней (см. задачу 61013), ответ в пункте б отрицательный.
В качестве примера (пункт а) требуется только решить это уравнение, например, при n = 3.
Ответ
а) Например, a = 2 + . б) Не может.
Замечания
баллы: 3 + 5
