ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97871
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что  a + b + c > 0,  ab + bc + ca > 0,  abc > 0.  Докажите, что  a > 0,  b > 0  и  c > 0.


Решение 1

Если хотя бы одно из чисел отрицательно, то отрицательных чисел ровно два, поскольку  abc > 0.  Без ограничения общности полагаем, что  a > 0,
b = – x < 0,  c = –y < 0.  Тогда два остальных неравенства можно записать так:  a > x + y,  a < xy(x + y)–1.  Из них следует, что  xy > (x + y)².  Но тогда
0 > – xy > x² + y².  Противоречие.


Решение 2

По обратной теореме Виета a, b, c – корни многочлена  P(x) = x³ – px² + qx – r,  где p, q, r – положительные числа. Если x – неположительное число, то, очевидно,  P(x) < 0.  Значит, все его корни положительны.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .