Задача 97871
|
|
 |
Условие
Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0. Докажите, что a > 0, b > 0 и c > 0.
Решение 1
Если хотя бы одно из чисел отрицательно, то отрицательных чисел ровно два, поскольку abc > 0. Без ограничения общности полагаем, что a > 0,
b = – x < 0, c = –y < 0. Тогда два остальных неравенства можно записать так: a > x + y, a < xy(x + y)–1. Из них следует, что xy > (x + y)². Но тогда
0 > – xy > x² + y². Противоречие.
Решение 2
По обратной теореме Виета a, b, c – корни многочлена P(x) = x³ – px² + qx – r, где p, q, r – положительные числа. Если x – неположительное число, то, очевидно, P(x) < 0. Значит, все его корни положительны.
Замечания
6 баллов
