|
|
 |
Условие
а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.
б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).
Решение
а) Будем считать, что одна из сторон квадрата вертикальна. Назовём прямоугольники связанными, если они пересекаются одной вертикальной или горизонтальной прямой. (В частности, прямоугольники, имеющие общую вершину, связаны.) Связанные прямоугольники входят в цепочку, "нанизанную" на эту прямую.
Пусть прямоугольники A и B не связаны. Тогда (с точностью до поворота квадрата) один из них находится левее и выше другого (см. рис.).
Для построения цепочки, соединяющей B и C рассуждение можно повторить. На каждом шаге, прямоугольники, которые нужно соединить, сближаются, так что в конце концов они станут связанными.
б) Рассуждения аналогичны. Объясним более подробно переход от параллелепипеда А к параллелепипеду C. Окрестность вершины параллелепипеда А, ближайшей в B, разбивается на восемь октантов. Один из них "занят" параллелепипедом А, а остальные распределяются по соседним параллелепипедам. При этом соседний параллелепипед может "занимать" один, два или четыре октанта. Ввиду нечётности числа 7 найдётся параллелепипед, занимающий ровно один октант (он может иметь с А только общую вершину или общие вершину и часть грани). В любом случае, соединив его цепочкой с B, мы сможем "переделать" эту цепочку, в цепочку, соединяющую А и B.
Замечания
Баллы: 12 + 12.
Ср. с задачей М940 из Задачника "Кванта".
