Задача 97882

Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фомин С.В.

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

  а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
  б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Решение

  а) Пусть модуль разности показаний часов в любой момент меньше  t = ³⁷/₂₀  минуты. Тогда время, затраченное первым шахматистом на первый ход, меньше t, а каждым шахматистом на любой следующий ход – меньше 2t. Стало быть, общая длительность партии меньше  79·2t + t = 159t < 160t = 296  минут, то есть меньше 5 часов. Противоречие.

  б) Приведём пример партии, в которой модуль разности всё время был меньше 2 мин. Пусть на первый ход первый шахматист потратил  τ = ³⁰⁰/₁₅₈ мин, а далее каждый из шахматистов тратил на свой ход время 2τ, кроме последнего хода второго, на который было потрачено время τ. Тогда после 40 ходов часы каждого показывали  39·2τ + τ = 79τ = 2 ч. 30 мин.  При этом в каждый момент разность показаний, очевидно, не превосходила  τ < 2 мин.

Ответ

б) Нельзя.

Замечания

7-8 кл. – 4 балла, 8-10 кл. – 3 балла

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1986
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М974
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	7
Дата	1985/1986
вариант
Вариант	осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	2