Задача 97916

Темы:    [ Покрытия ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Гуревич Г.А.

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Решение

Рассмотрим такой набор равнобедренных треугольников, что высота каждого следующего в 200 раз больше диаметра предыдущего, а его площадь в 20000 раз меньше площади предыдущего. Разделим один из треугольников на 200 частей 199 отрезками, параллельными основанию и делящими высоту на равные части. Каждый треугольников с меньшим номером может пересекаться не более чем с двумя из этих частей, значит, по крайней мере две части (не менее ¹/₁₀₀₀₀ площади) полностью свободны от них. Но сумма площадей треугольников с большим номером меньше указанной величины.

Ответ

Существуют.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1987
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М1023
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1986/1987
Номер	8
вариант
Вариант	осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер	3