ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97930
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Неравенства с углами ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
  а) четыре,
  б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?


Решение

  а) Пример такого восьмиугольника: полуправильный восьмиугольник со сторонами 2 и     От него можно четырьмя способами отрезать описанную трапецию со сторонами  

  б) Докажем, что это невозможно.

  Первый способ. Среди пяти диагоналей, отсекающих описанные четырёхугольники найдутся соседние, например, AD и BE. Тогда
AB + CD = BC + AD,  BC + DE = CD + BE,  значит,  AB + DE = AD + BE.  Это противоречит тому, что сумма длин диагоналей четырёхугольника больше суммы длин двух его противоположных сторон (см. зад. 55162).

  Второй способ. Пусть окружности с центрами P и Q вписаны в четырёхугольники ABCD и BCDE. Оба центра находятся на биссектрисе угла BCD. Кроме того, P лежит на биссектрисе угла ABC, а Q – на биссектрисе угла EBC.  ∠EBC < ∠ABC,  поэтому  BQ < BP.  Но аналогично (с использованием углов ADC и EDC вместо EBC и ABC) доказывается, что BP < BQ. Противоречие.


Ответ

а) Может;  б) не может.

Замечания

1. Баллы: 2 + 2.

2. Чуть более общий случай см. в задачей М1052 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .