Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?
а) Докажите, что при переходе от невыпуклого
многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается.
(Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый
многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый
многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не
меньше, чем периметр внутреннего.
Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если a + b = n и числа a и b натуральные.
Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?
В комнате у Папы Карло на каждой стене висят часы, причём они все показывают неверное время: первые часы ошибаются на 2 минуты, вторые – на 3 минуты, третьи – на 4 минуты и четвёртые – на 5 минут. Однажды Папа Карло, выходя на улицу, решил узнать точное время и увидел такие показания часов: 14:54, 14:57, 15:02 и 15:03. Помогите Папе Карло определить точное время.
Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан
больше 3/4 периметра, но меньше периметра.
Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?
|
|
 |
Условие
Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?
Решение 1
Пусть φ – поворот на 90° некоторой строки, ψ – некоторого столбца. Коммутаторы φψφ–1ψ–1 и ψφψ–1φ–1 поворачивают только кубик, лежащий в их пересечении, возвращая все остальные кубики в исходное положение. Теперь ясно, как каждый кубик поворачивать произвольно, независимо от остальных.
Решение 2
Пусть первые m строк и первые n кубиков (m+1)-й строки уже повёрнуты чёрной гранью вверх. Покажем, как повернуть (n+1)-й кубик A этой строки, не испортив предыдущих "достижений".
Повернём первые m строк чёрной гранью назад (теперь никакие действия со столбцами не изменят этого состояния). Повернём первые n столбцов так, чтобы чёрные грани первых n кубиков (m+1)-й строки оказались слева. Теперь (поворотами строки и столбца) повернём кубик A чёрной гранью вверх. Вернём первые n столбцов, а затем первые m строк в исходное состояние.
Ответ
Всегда.
Замечания
5 баллов
