Задача 97949
|
|
 |
Условие
Доказать, что существует бесконечно много таких пар (a, b) натуральных чисел, что a² + 1 делится на b, а b² + 1 делится на a.
Решение 1
Заметим, что если a < b, a² + 1 = cb, b² + 1 = da, (a, b) = 1, то кратно b. Значит, из "хорошей" пары (a, b) можно получить новую хорошую пару (b, d), причём b < d, (b, d) = 1. В качестве первой пары можно взять (1, 2).
Решение 2
Для знатоков. Используем известное свойство чисел Фибоначчи: Подставляя Fn+1 = Fn+2 – Fn, получим
Отсюда видно, что при нечётном n пара (Fn, Fn+2) удовлетворяет условию.
Замечания
1. Решение 1 приводит к тем же числам Фибоначчи.
2. 5 баллов.
