ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98027
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?


Решение 1

Пусть OABC – такой квадрат. Рассмотрим систему координат, где ось Ox идёт вдоль стороны треугольника (но не вдоль стороны квадрата), а единица равна стороне треугольника. Тогда абсциссы вершин A и C рациональны, а ординаты иррациональны. Но абсцисса A по модулю равна ординате C. Противоречие.


Решение 2

Пусть ABCD – квадрат, образованный какими-то четырьмя вершинами. Построим на AB равносторонний треугольник ABE так, чтобы вершина E лежала внутри квадрата. Поскольку точка E получена из B поворотом на 60° вокруг A, она тоже является вершиной. Аналогично построим вовнутрь квадрата треугольники BCF, CDG и DAH; очевидно, точки E, F, G, H образуют квадрат, сторона, которого меньше AB в определенное число раз. Повторив эту конструкцию еще раз, получим еще один квадрат с вершинами в точках сетки, сторона которого меньше EF в то же число раз, и т. д. Но сторона квадрата не может быть меньше чем сторона треугольника. Противоречие.


Ответ

Не существуют.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .