Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает (a1 > a2 > a3 > a4 > a5), а начиная с a5 – возрастает (a5 < a6 < a7 < ...)?
б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?
Верхней целой частью числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.
Докажите, что
а) если натуральное число n можно представить в виде n = 4k + 1, то существуют n нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
б) если n нельзя представить в таком виде, то таких n нечётных натуральных чисел не существует.
|
|
 |
Условие
Докажите, что
а) если натуральное число n можно представить в виде n = 4k + 1, то существуют n нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
б) если n нельзя представить в таком виде, то таких n нечётных натуральных чисел не существует.
Решение
а) Пусть n = 4k + 1. Возьмём n – 2 единицы и ещё два числа – 3 и 2k + 1. И сумма и произведение этих чисел равны 6k + 3.
б) Пусть произведение некоторых n нечётных натуральных чисел равно их сумме. Пусть у r рассматриваемых чисел остаток от деления на 4 равен 1,
а у s чисел – –1. Представим число s в виде s = 2t + a, где a = 0 или 1. Тогда остаток от деления произведения наших чисел на 4 равен 1 – 2a, а остаток от деления их суммы на 4 сравним с r – s по модулю 4. Итак, r + s = n, а r – s ≡ 1 – 2a (mod 4). Значит, 2a ≡ (r + s) – (r – s) ≡ n – 1 + 2a (mod 4), то есть
n ≡ 1 (mod 4).
Замечания
баллы: 3 + 4
