|
|
 |
Условие
На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.
Решение
Обозначим через R(φ) множество прямых с углом наклона φ (отсчитанного против хода часовой стрелки от горизонтального направления), по обе стороны от каждой из которых лежит одинаковое число (5 или 4) красных точек. Аналогично для синих точек введём множество B(φ). Каждое из множеств R(φ) и B(φ) представляет собой полосу (возможно, из одной прямой), обозначим через r(φ) и b(φ) направленные прямые, проходящие посередине этих полос. Докажем, что для некоторого φ0 имеет место равенство r(φ0) = b(φ0).
Если r(0) = b(0), то φ0 = 0. Если же r(0) ≠ b(0), можно считать, что r(0) проходит левее b(0), если смотреть вдоль направления r(0). Будем изменять φ от 0 до π. Поскольку прямые r(π) и b(π) отличаются от прямых r(0) и b(0) соответственно только направлением, то r(π) проходит правее b(π). Но r(φ) и b(φ) непрерывно зависят от φ, и по теореме о промежуточном значении r(φ) = b(φ) для некоторого φ = φ0.
В случае, когда прямая l = r(φ0) = b(φ0) не проходит через две одноцветные точки, l есть искомая прямая. Если же l проходит через две одноцветные точки, то искомая прямая может быть получена из l "малым шевелением" – поворотом на очень маленький угол вокруг середины отрезка с концами в этих двух одноцветных точках.
Замечания
5 баллов
