ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98081
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фомин Д.

Имеется n целых чисел  (n > 1).  Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное n.
Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на n.


Решение

Пусть a1, ..., an – имеющиеся числа. а P – их произведение. По условию  aiP/ai  кратно n. Тогда и     кратно n. Сложив все такие выражения и прибавив Pn, получим сумму квадратов.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .