а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.
б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную окружность в окружность, а точку M — в ее центр, то исключительная прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через M.

   Решение

Попробуйте расшифровать отрывок из книги "Алиса в Зазеркалье": " — БЕРПИ Э ЙДЕМГОКВЭЫ БИБЕО-ЖАКЙПЧ ЗВЕЛЕ,  — ЗБИСИВ ФИВМИУ-КЕВМИУ ПЕЛЕВЧЖЕ ДГОСГАМОВЧЖЕ,  — ЕЖЕ ЕСЖИЬИОМ МЕВЧБЕ МЕ, ЬМЕ Э ЦЕЬЙ, ЬМЕКЮ ЕЖЕ ЕСЖИЬИВЕ,  — ЖА КЕВЧФО, ЖА ТОЖЧФО". Текст зашифрован так: десять букв ("а", "е", "и", "й", "о", "у", "ы", "э", "ю", "я") разбиты на пары, и каждая из этих букв в тексте заменена второй из пары. Все остальные буквы точно так же разбиты на пары.

   Решение

Темы:    [ Комбинаторика (прочее) ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

Решение

Обозначим через L_i число левых сапог из десяти, занимающих с i-го по (i+9)-е места. Тогда  L₁ + L₁₁ + L₂₁ = 15.  Если одно из чисел L₁, L₁₁, L₂₁ равно 5, то мы нашли искомую десятку. Иначе одно из них больше 5, а какое-то – меньше 5. Но L_{i + 1} может отличаться от L_i не более чем на 1. Значит,  L_k = 5  при некотором k. Это и даст искомую десятку.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования