|
|
 |
Условие
Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B1C1 || PA, C1A1 || PB, A1B1 || PC). Через точки A1, B1, C1 проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Решение
Пусть треугольник ABC с углами α, β, γ ориентирован положительно (то есть обход A → B → C совершается против часовой стрелки). Тогда продолжив стороны AB и AC за вершину A и проведя через A прямую параллельно BC, мы получим 6 углов, расположенных в порядке α, β, γ, α, β, γ по часовой стрелке.
Пусть точка P расположена на дуге BC. Тогда ∠BPA = γ, ∠APC = β. Поэтому, если продолжить AP, BP, CP за точку P, мы получим углы α, β, γ, α, β, γ, расположенные в противоположном порядке. Это означает, что треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC, но ориентирован отрицательно.
Если повторить построение, используя точку P1 на описанной окружности треугольника A1B1C1, то мы получим треугольник A2B2C2, подобный треугольнику ABC и ориентированный положительно. Когда P1 пробегает всю описанную окружность, треугольник A2B2C2 описывает половину полного оборота. Значит, при каком-то положении точки P1 его стороны будут параллельны сторонам треугольника ABC. В этот момент A1P1, B1P1, C1P1 параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC.
Замечания
1. 10 баллов.
2. Решение, использующее понятие ориентированного угла между прямыми, см. в решениях Задачника "Кванта" 1992, №12.
