ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98149
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что  P – QP и  P + Q  – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?


Решение

Например,  P = (x² + 1)²,  Q = 4x³ – 4x.  Тогда  P + Q = (x² + 1)² + 4x(x² – 1) = (x² – 1)² + 4x(x² – 1) + 4x² = (x² – 1 + 2x)²;  аналогично  P – Q = (x² – 1 – 2x)².


Ответ

Можно.

Замечания

1. Положим  P = S²,  P – Q = R²,  P + Q = T².  Тогда  2S² = 2P = R² + T².  Если  S² = U² + V<²,  то  2S² = (U + V)² + (U – V)².  Заметим, что
(x² + 1)² = (x² – 1)² + (2x)²,  поэтому можно взять  S = x² + 1,  U = x² – 1,  V = 2x.  Это и даёт указанный пример.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .