|
|
 |
Условие
Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.
Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).
Решение
Если точка A лежит на биссектрисе данного угла, то все прямые перпендикулярны к OA. В противном случае перпендикуляр к OA, восстановленный из A, пересекает MN в точке R. Пусть он также пересекает стороны угла в точках P и Q (M, N лежат на лучах OP, OQ соответственно).
Первый способ.
Применив теорему Менелая (см. задачу 53857) к треугольнику OPQ и прямой MN, получим Отсюда
следовательно, точка R для всех прямых MN одна и та же.
Второй способ. Рассмотрим случай, когда ∠MOA < ∠NOA. Пусть точки N' и Q' симметричны N и Q относительно прямой OA, а прямая NN' пересекает OM в точке T. Тогда M – точка пересечения диагоналей трапеции ARN'N. Следовательно, PA : PR = TN' : TN = PQ' : PQ, т.е. точка R для всех прямых MN одна и та же.
Замечания
1. Вместо отношения площадей можно применить теорему синусов.
2. Задачу можно решить чисто аналитически. Поместив начало координат в точку A и совместив ось абсцисс с прямой OA, нетрудно выписать уравнения всех участвующих в условии прямых и убедиться в том, что все прямые MN пересекают ось ординат в одной точке.
3. 8 баллов.
