Задача 98162

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Свойства сечений ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Анджанс А.

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

Решение

  а) Оценка. Не более ⅔ рёбер выпуклого многогранника могут быть пересечены одной плоскостью. Действительно, в каждой грани пересечено не более двух сторон, а число сторон этой грани не меньше 3, то есть в каждой грани пересечено не более ⅔ её сторон. Сложив эти неравенства по всем граням (при этом каждое ребро встретится дважды), получим требуемое.
  Пример. Склеим по общему основанию, лежащему в плоскости π, две правильные 34-угольные пирамиды (рис. справа). Получится 68-гранная бипирамида. Окрасим вершины, лежащие в плоскости π в шахматном порядке. Чёрные вершины слегка поднимем над плоскостью, а белые опустим под неё (рис. в центре). Теперь плоскость π, очевидно, пересекает 68 из 102 рёбер бипирамиды.

  Теперь превратим в четырёхугольники две пары соседних треугольников так, что два ребра бипирамиды ликвидируются (рис. слева), и получим нужный пример.

  б) Приведём пример невыпуклого многогранника со 100 рёбрами, у которого все рёбра, кроме двух, пересекают горизонтальную плоскость π (см. рис.).

  Расположим тетраэдр ABCD так, что ребро AC лежит выше, BD – ниже, а точка D – в плоскости π. Гранями нашего многогранника будут треугольники ABD, CBD и узкие невыпуклые четырёхугольники ABCB', ADA'B', B'A'B"C, CDC'B", A'B"C'B'", A'B'"A"D, ..., получаемые следующим образом: точка B' лежит в треугольнике ABC вблизи B; точка A' – в треугольнике AB'D, вблизи A; точка B" – в треугольнике A'B"C вблизи B'; точка C' – в треугольнике B'A"D вблизи C; точка B'" – в треугольнике A"B'C вблизи B"; точка A" – в треугольнике A'B"D вблизи A', и так далее. Добавление каждого четырёхугольника увеличивает число рёбер на 2; поэтому после добавления 47-го четырёхугольника остается добавить ещё одно ребро (B*D) и две треугольные грани (B*A*D и B*C*D) – и мы получим плёнку, ограничивающую сверху многогранник со 100 ребрами, у которого все рёбра, кроме двух – B*D и BD, – пересекают π.

  в) Предположим, что горизонтальная плоскость π₀ пересекает все рёбра многогранника M. Так как π₀ пересекает все рёбра, то вершины M делятся на два типа: верхние (выше плоскости π₀) и нижние (ниже π₀) – верхние расположены над π₀, нижние – под ней. Каждое ребро соединяет одну из верхних вершин с одной из нижних.
  Будем двигать плоскость π, параллельную π₀, сверху вниз и проследим, как меняются при этом сечения многогранника.
  Как только плоскость π "натыкается" на вершину A многогранника и опускается чуть ниже неё, она начинает отсекать от M пирамидку (возможно невыпуклую) с вершиной A, боковые рёбра которой идут вдоль рёбер, выходящих из A. С опусканием π пирамидка растёт: боковые рёбра удлиняются, а основание расширяется. Пирамидки, соответствующие разным верхним вершинам не пересекаются между собой выше π₀: пересечение двух разных граней содержит нижнюю вершину, а все они – ниже π₀. Значит, этот процесс роста пирамидок продолжается и ниже π₀, по крайней мере до тех пор, пока мы не наткнёмся на первую нижнюю вершину. Следовательно, площадь сечения M плоскостью π₀ больше всех площадей сечений плоскостями выше π₀, но меньше сечения некоторой плоскостью, проходящей ниже π₀.
  Но, повторив эти рассуждения, начав с плоскости ниже многогранника и постепенно поднимая её, мы получим, что площадь сечения M плоскостью π₀ больше всех площадей сечений плоскостями, находящимися ниже π₀. Противоречие.

Замечания

баллы: 4 + 3 + 2

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1993
выпуск
Номер	09.окт
Задача
Номер	М1394
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	6