|
|
 |
Условие
Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.
Решение
Число наследников и общая сумма M наследства не зависят от способа дележа. Назовём наследника средним, если он ни бедный, ни богатый, то есть если он получает от 99 до 10000 рублей. Пусть при некотором способе дележа оказалось p бедных, q средних и r богатых наследников; бедным при этом на всех досталось P рублей, средним – Q рублей, богатым – R рублей, причём R < 100P. Тогда P > 0. По условию R > P > 0, значит, и r больше нуля. Имеем 10000 < R < M = P + Q + R < 101P + Q < 9999p + 10000q < 10000(p + q).
Произведём новый раздел: отдадим одному из r бывших богатых 1 рубль, остальным r – 1 – ничего. Ввиду доказанного неравенства оставшиеся M – 1 рублей можно распределить между оставшимися p + q наследниками, дав каждому не более 10000 рублей. При таком разделе богатых наследников нет вообще, а бедные получат не менее 1 рубля, что противоречит условию.
Замечания
1. 5 баллов
2. Задача предлагалась также на Санкт-Петербургской математической олимпиаде (1993 г., 9 кл., задача 3).
