Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107996  (#1)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107994  (#2)

Темы:   [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Средняя линия треугольника ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N   середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы  OM + ON,  когда угол ACB меняется.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98180  (#3)

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Подсчет двумя способами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98181  (#4)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a₁, a₂, ..., a_n–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a₁k₁ + a₂k₂ + ... + a_n–1k_n–1,  где k_i – целые неотрицательные числа (на a₁ никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98182  (#5)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  f(f(x))= – x  при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями