Задача 98206
|
|
 |
Условие
На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть
не меньше трёх одноклассников.
Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.
Решение
Предположим противное: из каждого класса пришло не больше 14 учеников. Пусть из m классов пришло по одному ученику, а из n – от 2 до 14. Тогда
m + 2n ≤ 9 (иначе, взяв из m классов по одному ученику, а из остальных – по два, получим противоречие с условием).
Значит, всего учеников не больше m + 14n = (m + 2n) + 6·2n ≤ 9 + 6·8 = 57 < 60. Противоречие.
Замечания
4 балла
