ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98206
Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

На кружок пришло 60 учеников. Оказалось, что среди каждых десяти из них есть не меньше трёх одноклассников.
Докажите, что среди кружковцев найдётся по меньшей мере 15 учеников, которые учатся в одном классе.


Решение

  Предположим противное: из каждого класса пришло не больше 14 учеников. Пусть из m классов пришло по одному ученику, а из n – от 2 до 14. Тогда
m + 2n ≤ 9  (иначе, взяв из m классов по одному ученику, а из остальных – по два, получим противоречие с условием).
  Значит, всего учеников не больше  m + 14n = (m + 2n) + 6·2n ≤ 9 + 6·8 = 57 < 60.  Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .