Задача 98209

Темы:    [ Ребусы ] [ Десятичная система счисления ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Ковальджи А.К.

Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше.
Найти эти числа.

Решение

Пусть A – первое трёхзначное число, B – второе. По условию  1000A + B = 3AB,  откуда  (3A – 1)B = 1000A.  Числа A и  3A – 1  взаимно просты, следовательно, 1000 делится на  3A – 1.  Но A – трёхзначное число, значит,  3A – 1  – трёхзначное или четырёхзначное. Таких делителей у 1000 два: 500 и 1000.  3A – 1  не может равняться 1000, так как 1001 не делится на 3. Итак,  3A – 1 = 500,  откуда  A = 167,  B = 334.

Ответ

167 и 334.

Замечания

3 балла.

Ср. с задачами 107749, 107760.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1