Задача 98215

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Обратный ход ] [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:  x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x₁ рационально.
  б) Сколько существует значений x₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

Решение

  а) См. задачу 98221.

  б) Положим     графики функций  y = f(x),  y = f₂(x)  и  y = f₃(x)  показаны на рисунке.

  Для каждого  T = 2, 3, ...  есть по крайней мере одна точка периода ровно T; это, в частности, "последняя" точка пересечения графиков  y = x  и
y = f_T(x):     (ясно, что при  k < T  все решения уравнения  x = f_k(x)  меньше x_T). Взяв в качестве x₁ тот из двух прообразов x_T  при отображении  x → f(x),  который не входит в "периодическую траекторию", порождаемую x_T, мы получим последовательность, которая, начиная со второго места, – периодическая с периодом T. Эту последовательность, в свою очередь можно нарастить спереди и т.д.

Ответ

б) Бесконечное число.

Замечания

Число чисто периодических точек периода T (без предпериода) при каждом конкретном T можно найти по формуле включения-исключения. Найдём, например, число точек периода 6. Все они являются решениями уравнения  f₆(x) = x.  Таких решений, очевидно, 2⁶. Но среди них есть 2³ решений уравнения  f₃(x) = x  – точек периода 3 и 2² решений уравнения  f₃(x) = x  – точек периода 2. Вычитая их, мы дважды вычтем две точки периода 1. Итого, число точек периода 6 равно  2⁶ – 2³ – 2² + 2 = 54.  Они распадаются на девять траекторий из шести точек.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1994
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1443