|
|
 |
Условие
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|.
а) Докажите, что если a1 рационально, то
последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого
места, периодическая, то a1 рационально.
Решение
а) Если a1 рационально, то все an рациональны, причём со знаменателем не бoльшим, чем у a1. Но положительных дробей со знаменателями, не бoльшим заданной величины, конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента начнётся период.
б) Допустим, что an+k = an. Раскрывая знак модуля, получим либо an+1 = 2an, либо an+1 = 2 – 2an. Поэтому an+k = u + van, где где u, v – целые числа и
v ≠ 1. Получаем линейное уравнение с целыми коэффициентами an = u + van, откуда видно, что an рационально. Аналогично an линейно выражается через a1, поэтому и a1 рационально.
Замечания
1. Баллы: 2 + 2.
2. См. также задачу 98215.
