ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98234
Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли из последовательности  1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
  а) сто чисел,
  б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (ak = ak–2ak–1)?


Решение

  а) Такая подпоследовательность строится, например, следующим образом. Напишем первые сто различных чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Разделим все числа на их наименьшее общее кратное и запишем результаты в обратном порядке. Все дроби сократятся, и получатся числа из нашего ряда, записанные в порядке убывания, при этом каждое число, начиная с третьего, есть разность двух предыдущих.

  б) Знаменатель каждой дроби делит НОК двух предыдущих. Поэтому знаменатели всех дробей делят НОК двух первых. Следовательно, различных знаменателей может быть лишь конечное число, а значит, и наша подпоследовательность конечна.


Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Замечания

Баллы: 3 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .