Задача 98276

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Курляндчик Л.Д.

Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.

Решение

  Обозначим последовательность, о которой идёт речь в условии задачи, через {x_n}. Введём новую последовательность {y_n}:     Вычислим  y_n – y_n+1  при  i ≥ 5:

 

  Так как  y₅ = 65,  то  y₇₀ = y₅ – 65 = 0.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2