Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.
а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно
разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
Решение
а) Пример такой четвёрки чисел: 1, 3, 7, 9. Из этих чисел можно образовать четыре тройки; их суммы – 11, 13, 17 и 19.
Еще один пример, в котором сами исходные числа – тоже простые: 7, 13, 23, 53.
б) Среди любых пяти целых чисел либо найдутся три, дающих одинаковые остатки при делении на 3, либо найдутся три, дающих попарно различные остатки при делении на 3. В любом случае их сумма делится на 3 и больше 3.
в) Два примера.
1) –9, –3, 15, 25, 31; соответствующие суммы: 3, 13, 19, 31, 37, 47, 37, 43, 53, 71.
2) –11, –5, 19, 23, 29; соответствующие суммы: 3, 7, 31, 37, 13, 37, 41, 43, 47, 71.
г) Заметим, что если a1 < ... < a6, то a1 + a2 + a3 и a1 + a2 + a4 – две наименьшие из сумм троек чисел. Значит, каждая из остальных сумм больше 3.
Рассмотрим теперь остатки от деления на 3 сумм троек из чисел a2, a3, ..., a6. Сумма некоторых трёх из этих чисел кратна 3 (см. б)). Так как эта сумма больше 3, то она – составное число.
Ответ
а), в) Существуют; б), г) не существуют.
