ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98286
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.


Решение

Пусть x – одно из этих n чисел,  x + b1x + b2,  ...,  x + bn–1  – остальные и  p = x(x + b1)(x + b2)...(x + bn–1) = x + c,     (*)
где, по условию, c нечётно, а b1, b2, ..., bn–1 чётны, поскольку  bi = (p – x) – (p – (x + bi))  – разность двух нечётных чисел. Равенство (*) можно записать, раскрыв скобки, в виде  xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–2x² + an–1x – c = 0,     (**)
где a1, ..., an–2 чётны, а  an–1 = b1b2...bn–1 – 1  и c нечётны. Согласно задаче 61013 все рациональные корни этого уравнения – целые. Но целым x быть не может: при целом x левая часть нечётна. Следовательно, число x иррационально.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1537
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .