|
|
 |
Условие
а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.
в) Найдите для каждого n такое наименьшее k = k(n), что к каждому n-значному числу можно приписать еще k цифр так, чтобы полученное (n+k)-значное число было полным квадратом.
Решение
а) Возьмём произвольное число, оканчивающееся нулями, квадрат которого – 12-значное число, начинающееся с 5, например A = 750000
(A² = 5625·108). Поскольку (A – 1)² = A² – 2A + 1, предшествующий A² квадрат равен 562500000000 – 2·750000 + 1 = 562498500001. Значит, 12-значного квадрата, начинающегося цифрами 562499, не существует.
б) Пусть A² – 12-значное число, начинающееся с 1, то есть 1011 ≤ A² < 2·1011. Соседние квадраты отличаются от A² на 2A – 1 и 2A + 1, а Поэтому разница между соседними квадратами меньше миллиона, так что в ряду последовательных квадратов между 1011 и 2·1011 встретятся числа, начинающиеся с каждого набора из шести цифр.
в) К любым n цифрам можно приписать еще n + 1 цифру так, что полученное число из 2n + 1 цифры будет полным квадратом. Действительно, на участке от 102n до 102n+1 разница между соседними квадратами не превосходит
Докажем, что k(n) ≥ n + 1. Рассмотрим квадрат, предшествующий 102n: Таким образом, к числу
нельзя приписать n цифр так, чтобы получился квадрат. Ясно также, что к нему нельзя приписать n – 2, n – 4, ... цифры: соответствующее число слишком близко к (10n–1)², (10n–2)², ... Поэтому k(n) ≠ n (а также n – 2, n – 4, ...).
Рассмотрим ещё квадрат, предшествующий (2·10n–1)2: Таким образом, к числу
нельзя приписать n – 1 (а также n – 3, n – 5, ...) цифр, чтобы получился квадрат, поэтому k(n) ≠ n – 1 (n – 3, n – 5, ...).
Ответ
а) Не к любому; б) к любому; в) k(n) = n + 1.
