|
|
 |
Условие
а) Докажите для всех n > 2 неравенство
б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех n > 2
Решение
а) Заметим, что
Имеем:
Это число, очевидно, удовлетворяет требуемым неравенствам при n > 2.
б) По аналогии с пунктом а) постараемся представить в виде
(тогда снова сократятся все члены суммы, кроме первого и последнего). f(k) будем искать в виде квадратного трёхчлена f(k) = k² + pk + q. Получим соотношение
k³ – a = k(k² + pk + q) – ((k + 1)² + p(k + 1) + q) = k³ + (p – 1)k² + (q – 2 – p)k – (1 + p + q).
Отсюда p = 1, q = 3, a = 5. Итак, и
то есть
b = 9. Осталось подобрать c так, чтобы при n > 2 выполнялось неравенство или n² + 3n + 5 < cn(n – 1).
Подходит, например, c = 4.
Ответ
б) Например, a = 5, b = 9, c = 4.
Замечания
1. С тем же успехом можно использовать в а) разложение
а в б) – разложение
2. Баллы: 3 + 3.
