Задача 98348

Темы:    [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Около правильного тетраэдра ABCD описана сфера. На его гранях как на основаниях построены во внешнюю сторону правильные пирамиды ABCD', ABDC', ACDB', BCDA', вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями ABC' и ACD'.

Решение

Рассмотрим куб, вершины A, B, C и D которого совпадают с вершинами тетраэдра (см. рис.). Так как сфера, описанная вокруг куба, описана и вокруг тетраэдра, то A', B', C' и D' – оставшиеся четыре вершины этого куба, а указанные плоскости – грани куба.

Ответ

90°.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4