Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.
В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)
Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.
Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
|
|
 |
Условие
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
Решение
xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = xy(x – y) + yz(y – z) + zx((z – y) + (y – x)) = xy(x – y) – zx(x – y) + yz(y – z) – zx(y – z) =
= x(y – z)(x – y) + z(y – z)(y – x) = – (x – y)(y – z)(z – x).
Теперь понятно, что если (x, y, z) – решение, то для любого целого t тройка (x + t, y + t, z + t) тоже является решением. Таким образом, из частного решения (3, 1, 0) получаем бесконечную серию (t + 3, t + 1, t).
Замечания
4 балла
