Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть a — комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром в нуле, t — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее, b — отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что = (1 - ta)(t - a).

   Решение

---

Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда abcd = 0.

   Решение

Темы:    [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Перемножаются все выражения вида     (при всевозможных комбинациях знаков).
Докажите, что результат   а) целое число,   б) квадрат целого числа.

Решение

  Лемма. Если число a₀ целое, а числа a₁, ..., a_n натуральные, то произведение всех 2ⁿ выражений вида     – целое число.
  Доказательство. Рассмотрим выражение P, полученное перемножением 2ⁿ сумм вида  a₀ ± x₁ ± x₂ ± ... ± x_n.  Раскрывая скобки и приводя подобные, получим многочлен от переменных x₁, x₂, ..., x_n с целыми коэффициентами. Результат, очевидно, не зависит от того, как мы группируем скобки и в каком порядке их перемножаем. Разобьём, например, все произведение на 2^n–1 сомножителей вида
  (S = ± x₂ ± x₃ ± ... ± x_n  с какими-то фиксированными знаками). В первое слагаемое x₁ вообще не входит, а во второе – входит в чётной степени. Поэтому и после раскрытия скобок в произведении таких выражений x₁ входит в каждый одночлен в чётной степени. В силу симметрии то же верно для каждого из остальных x_i. Подставляя теперь     (i = 1, ..., n)  в многочлен, мы получим сумму произведений целых чисел (корни в чётных степенях дают целые), то есть целое число.

  а) Применив лемму к числам  a₀ = 0,  a₁ = 1,  ...,  a₁₀₀ = 100,  сразу получим требуемый результат.

  б) Применив лемму к числам  a₀ = 1,  a₁ = 2,  ...,  a₉₉ = 100,  получим, что произведение P всех 2⁹⁹ выражений вида     – целое число. Но оставшиеся 2⁹⁹ сомножителей – это те же самые числа, взятые с противоположным знаком. Поэтому их произведение равно  (–1)²⁹⁹P = P,  а произведение всех 2¹⁰⁰ сомножителей равно P².

Замечания

Баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования