|
|
 |
Условие
Перемножаются все выражения вида (при всевозможных комбинациях знаков).
Докажите, что результат а) целое число, б) квадрат целого числа.
Решение
Лемма. Если число a0 целое, а числа a1, ..., an натуральные, то произведение всех 2n выражений вида – целое число.
Доказательство. Рассмотрим выражение P, полученное перемножением 2n сумм вида a0 ± x1 ± x2 ± ... ± xn. Раскрывая скобки и приводя подобные, получим многочлен от переменных x1, x2, ..., xn с целыми коэффициентами. Результат, очевидно, не зависит от того, как мы группируем скобки и в каком порядке их перемножаем. Разобьём, например, все произведение на 2n–1 сомножителей вида
(S = ± x2 ± x3 ± ... ± xn с какими-то фиксированными знаками). В первое слагаемое x1 вообще не входит, а во второе – входит в чётной степени. Поэтому и после раскрытия скобок в произведении таких выражений x1 входит в каждый одночлен в чётной степени. В силу симметрии то же верно для каждого из остальных xi. Подставляя теперь
(i = 1, ..., n) в многочлен, мы получим сумму произведений целых чисел (корни в чётных степенях дают целые), то есть целое число.
а) Применив лемму к числам a0 = 0, a1 = 1, ..., a100 = 100, сразу получим требуемый результат.
б) Применив лемму к числам a0 = 1, a1 = 2, ..., a99 = 100, получим, что произведение P всех 299 выражений вида – целое число. Но оставшиеся 299 сомножителей – это те же самые числа, взятые с противоположным знаком. Поэтому их произведение равно (–1)299P = P, а произведение всех 2100 сомножителей равно P².
Замечания
Баллы: 3 + 3
